前期中間試験対策問題

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前期中間試験の対策問題を解説していきます。前期中間試験の問題はこちらの「電気回路基礎前期中間試験対策問題」からダウンロードして、コピーしてお使いいただけます。

範囲
電荷と電流
電圧・電流・電力・電力量
回路素子
直列回路・並列回路・直並列回路


必要な予備知識
指数とSI接頭語

問題 1
ある抵抗に 5[V]の電圧を 20[s]の間加えたら、3[A]の電流を流れた。
以下の問いに答えよ。
(1)抵抗を通過した電荷量は何[C]か.

-解-
$$Q = 60[C]$$ -解説-
まず電流の定義は、単位時間(つまり1秒)に通過する電荷の量です。つまり与えられた電荷の量を流れた時間分割ればいいわけです。 式で表すと以下の通りです $$I[A]=\frac{Q[C]}{t[s]}$$ 例でいうと、5秒間で流れる電荷の量がQ=20[C]であればA=4[A]となるわけです。 次に、今回求めるのは電荷量Q[C]です。 これは個人差もありますが、基本的には値を入れる前に式を変形してあげてから値を入れたほうが楽に計算をできたりします。そのため、変形すると、 $$Q[C] = I[A] \times t[s]$$ そして、与えられた値を整理すると、I=3[A]、t=20[s]であり、これらを上の式に代入します。 $$Q = 3 \times 20 = 60[C]$$




(2)電荷になされる仕事(エネルギー)はいくらか.

-解-
$$W = 300[J]$$
-解説-
ある時間t[s]の間にもらうエネルギーがW[J]だと、抵抗が単位時間でもらうエネルギーの割合が電力P[W]です。つまり電力P[W]全体のエネルギーW[J]から時間分t[s]割ればいいわけです。
式で表すと以下の通りです。 $$P[W] = \frac{W[J]}{t[s]}$$ この式さえ分かっていれば、また式変形するだけです。変形すると、 $$W[P] = P[W] \times t[s]$$ になります。ここで与えられた値を整理します。電力P[W]はIとVの積にも等しいため $$P[W] = I[A] \times V[V]$$ に代入して、P=15[W]であり、t=20[s]なので、 $$W[P] = 15 \times 20 = 300[J]$$

(3)抵抗が電源から受けた電力を求めよ.

-解-
$$P = 15[W]$$
-解説-
全問でも求めていますが、電力P[W]はIとVの積に等しいので、 \begin{eqnarray} P[W] &=& I[A] \times V[V]\\ &=& 3 \times 5 =15[W] \end{eqnarray}

(4)この時の電力量を求めよ.

-解-
$$W[W・s] = 300[W・s]$$
-解説-
1秒間で流れるエネルギーがP[W]なのでそれがt[s]ぶん供給された全エネルギーがW[W‣s]です。 それでは、式を表すのは簡単ですね。以下の通りです。 $$W[W・s] = P[W] \times t[s]$$ 後は前問で求めた値を代入するだけです。 $$W[W・s] = 15 \times 20 = 300[W・s]$$



問題 2
(1)自己インダクタンス L=40[mH]に毎秒 50[A]の割合で増大しつつある電流 i[A]が流れてい るとき、自己インダクタンスの両端の電圧 v を求めよ.

-解- $$v = 2[V]$$
-解説–
先に断言してしまうと、この式を理解するには電磁気の知識を使います。まだ勉強していないのでここは真面目に公式を暗記しましょう。
式の暗記など禁忌に近いですが、これはカリキュラム的にしょうがないことです。ですが”インダクタンス”はv、”キャパシタンス”はiを求められる違いがあるだけでほぼ違いはありません。以下の通りです。
\begin{eqnarray} L &:& v[V] = L[H] \frac {i[A]}{t[s]}\\ L &:& i[A] = C[F] \frac { v[V] }{ t[s] } \end{eqnarray} では上の該当する式に代入して求めるだけです。 \begin{eqnarray} v &=& 40 \times 10^{-3} \times \frac{50}{1} \\ &=& 2000 \times 10^{-3} \\ &=& 2 \times 10^0 \\ &=& 2[v] \end{eqnarray}

(2)キャパシタンス C=10[μF]の両端の電圧 v が毎分 150[V]の割合で増大しつつあるとき、 キャパシタンスに流れる電流 i を求めよ.

ー解ー
i = 25[μA] or 25 * 10^-6[A]
ー解説ー
これも上の該当する式に代入して求めるだけです。
\begin{eqnarray} i &=& 10 \times 10^{-6} \times \frac{150}{60} \\ &=& 10 \times 10^{-6} \times \frac{5}{2} \\ &=& 25 \times 10^{-6} \\ &=& 25[μA] \end{eqnarray}

(3)電圧 10[V]で電力 60[W]の電灯 2 個と電圧 10[V]で電力 20[W]の電灯 2 個を電圧 10[V]の蓄 電池で 2 時間点灯させるとき、その蓄電池が最低必要になる容量は何[Ah]か.

ー解ー
32[Ah]
ー解説ー
これはまず個々の電灯ひとつの最低必要になる容量[Ah]を求めます。では、まずひとつ目の電灯から求めていきます。
電灯Ⅰ : まず電力60[W]を2時間使った時の電力量は、 $$ 60[W] \times 2[h] = 120[W・h]$$ であり、この電力量を使えるような電流を流せばいいわけです。次に単位に注目してあげます。電力P[W]=IV[A・V] なので、 $$[W・h] = [A・V・h]$$ となります。それで今求めたいのは[A・h]だから、上の式を変形して[Ah] = の形にします。 $$ [Ah] = [Wh / V]$$ 後は、与えられた値と求めた値を代入するだけです。 $$ \frac{120} { 10 }= 12[Ah]$$ この電灯が2つあるので、 $$12 \times 2 = 24[Ah]$$ 電灯Ⅱ : こちらも同様の処理を行います。その結果、
4[Ah]
これも2つあるので、 $$4 \times 2 = 8[Ah]$$ あとはこれらを足し合わせて、 24 + 8 = 32[Ah]

問題 3
(1)ある電池の端子間に可変抵抗を接続し、I=5[A]の電流を流したら端子電圧は V=1.4[V],ま た I=2[A]の電流を流したら V=2[V]になった。起電力 E 及び,内部抵抗 Rx を求めよ.

-解-
Rx=0.2[Ω] E=2.4[V]
-解説-
以上の問題文は図1のようになる。
[図1]

この問題で重要なのは、起電力Eと内部抵抗Rxは不変であるということである。そうすると以下のような連立方程式を立てられることがわかる。 \begin{eqnarray} V1 &=& E – RxI2\\ V2 &=& E – RxI2 \end{eqnarray} (この連立方程式のイメージは【2つ目の電圧=全体の電圧-1つ目の電圧】このイメージは、問5で求める電圧降下にも使うイメージなので単純だが意識しておいてほしいです。)
あとはこの連立方程式に与えられた値を代入するだけです。 \begin{eqnarray} 1.4 &=& E – 5Rx \\ 2 &=& E – 2Rx \end{eqnarray}
Rx=0.2[Ω] E=2.4[V]

(2)以下の回路が定常状態にあるときの等価回路を書き、電源から回路に流れている電流 I を求めよ.

-解-
$$I = 0.1[A]$$
-解説-
この問題でまずキーとなる言葉は、”定常状態”という言葉です。
定常状態であると、インダクタンスとコンデンサは以下の通りになります。
・インダクタンス:2端子間を短絡していると考える。
・キャパシタンス:単なる絶縁体で開放していると考える。
以上を考慮した結果、回路は図2のようになります。
[図2]
ですが、この問題最大の肝は次に行う回路変形で、回路は図3のようになります。
[図3]
理由ですが、R1=0[Ω]とR2=30[Ω]の並列になった場合、短絡状態になり0[Ω]側にすべての電流が流れる状態になります。 これは、オームの法則と並列回路の時の電圧をかかりかた、電流の流れ方を知っていれば簡単にイメージすることができます。 並列回路の場合、電圧は等しくかかります。次に電圧を求める式は、V(共通)=IR[V] であり、 \begin{eqnarray} R1 \,:\, Ia \times 0 = 0 [V]\\ R2 \,:\, Ib \times 30 = 0 [V] \end{eqnarray} よってIb=0[A]になるので、R2側は無視していいことがわかると思います。 以上の理由で図3のようになります。 図3になった後の計算は簡単です。 $$I = \frac{V}{R} = \frac{2}{20} = 0.1[A]$$
問題 4
適切な数値または語句を当てはめ、文を完成させよ. 内部抵抗 R0=81[Ω]で 1「A」まで測定できる電流計がある。これを用いて、28[A]まで測定する 丈には、Rx=( )[Ω]の抵抗を電流計に( )に接続すれば良い。
-解–
(3[Ω]) (並列)
-解説-
この問題の簡単な解釈ですが、28[A]まで測定できるように設定したので、前提として28[A]回路に流れるとして問題を進めていきます。 次に回路の概形をイメージしていきます。内部抵抗R0を持った検流計は問題文の通り1[A]まで測ることができます。これと新しくつけるRを接続して28[A] 流れるように回路を作成します。
[図4]

つまり、内部抵抗R0を持った検流計側:Ia=1[A],新しくつけるR側:Ib=27[A] 流れるように分流させるので、並列接続になります。 後はどちらに焦点をあてるかなので、どちらの抵抗使って分流式を立てても大丈夫です。(この解説では検流計側のIaを使う) \begin{eqnarray} Ia&=& \frac{R} {R0 + R} \times I \\ \\ R &=& 3[Ω] \end{eqnarray}



問題 5
右の回路において、端子 ab 間の合成抵抗 Rt、電流 I の大きさ、電圧 V1x、V2x、 V3x を求めよ.

-解-
Rt = 10.91[Ω]
I = 3.67[A]
V1x = 18.67[V] , V2x = 32[V]
V3x = 8.67[V]
-解説-
この問題を解く上で分流、分圧の知識は必要不可欠です。今後永遠に使うのでオームの法則くらい呼吸のごとくできるようになれると今後は楽になれます。 そして、解に書くときに分数から少数に直します。基本的には分数のまま計算を進めていきます。 ではまずab間の合成抵抗Rtを求めていきます。 合成抵抗を求める際にはV3は解放しているのでガン無視して大丈夫です。よってただの並列回路になっているのがわかると思います。 \begin{eqnarray} Rt &=& \frac{(R1 + R2) \times (R3 + R4 + R5)} {(R1 + R2) + (R3 + R4 + R5)}\\ &=& \frac{40 \times 15} { 40 + 15 } \\ &=& \frac{120}{11} \\ &=& 10.90909… \\ &=& 10.91[Ω] \end{eqnarray} 和分の積を利用する。

続いて電流Iはひとつ前で求めた合成抵抗を用いて、オームの法則で求めます。 \begin{eqnarray} I &=& \frac{40} {\frac{120} {11}} &=& \frac{11}{3} &=& 3.6666.. &=& 3.67[A] \end{eqnarray} 次に、この問題で一番難しい電圧を求める問題です。
ではまず、並列接続の場合分流しますので各抵抗に流れる電流から処理していきます。R1,2側の電流をI1,R3,4,5側の電流をI2とします。
I1,I2は分流式を用いてとくと、
\begin{eqnarray} I1 &=&\frac{(R3 + R4 + R5) } {(R1 + R2) + (R3 + R4 + R5)} \times I \\ &=& \frac{(7 + 5 + 3) }{ (7 + 5 + 3) + (10 + 30) } \times \frac{11}{3} \\ &=& 1[A]\\ I2 &=& I – I1 \\ &=& \frac{11}{3} – 1 \\ &=& \frac{8}{3}[A]\\ \end{eqnarray} ここまでの情報をまとめると図5のようになります。
[図5]
それでは、V1xから求めていきたいと思います。V1xやV2xといった端子電圧はオームの法則より、 \begin{eqnarray} Vnx &=& (対応している抵抗Rx) \times (電流Ix) \end{eqnarray} です。なので \begin{eqnarray} V1x &=& I2 \times R3 = \frac{8}{3} \times 7 \\ &=& \frac{56}{3}= 18.666\\ &=& 18.67[V]\\ V2x &=& I2 \times (R3 + R4) = \frac{8}{3} \times (7+5) \\ &=& 32[V]\\ \end{eqnarray} 次に最難問であるV3xを求めていきます。解放電圧を求める式はいたって単純なのですが、仕組みはちょっとややこしく電磁気の知識が必要なので省きます。
解放電圧V3x = 矢印の先端で”残っている”電圧(Vaと置く) – 矢印の根元で”残っている”電圧(Vbと置く) です。電圧は最初に起電力Eから電圧を受け取り、それを各抵抗で消費していきます。そのため、残っている電圧を求めてその差をとります。 \begin{eqnarray} Va &=& E – R\times I1 = 40 – 10\times1 = 30[V]\\ Vb &=& E – R\times I2 = 40 – 7\times\frac{8}{3} = \frac{64}{3}[V]\\ よって、\\ V3x &=& Va – Vb = 30 – \frac{64}{3} = \frac{26}{3} \\ &=& 8.666 \\ &=& 8.67[V]\\ \end{eqnarray}

問題 6
右の回路において、合成抵抗 Rt、Ix 及び Ix1~Ix5 を求めよ.

ー解ー
Rt = 0.85[Ω]
Ix = 23.57[A] , I1x = 2.86[A] , I2x = 0.71[A]
I3x = 20[A] , I4x = 3.75[A]
ー解説ー
この問題の99%は接続点aの回路変形にかかっています。それでは、回路変形の仕方から解説していきます。
[図6] 図6の色が同じ部分は変形しても問題が起こらない場所です。つまり、以下のように新たな接続点dを同じ色の中に作ってあげます。
そうすると、図7のようになります。
[図7] ※これは飽くまで一例なので、ほかの変形法、解き方あります。参考程度に解説を利用していただくと幸いです。
もうここまで変形出来たら、ただの並列回路になるので処理は前問の問5と同じです。順を追ってやっていきましょう。
まずは合成抵抗Rtから求めていきますが、先にR12を求めてからおこないます(なにかと後に計算も楽になるため)
\begin{eqnarray} R12 &=& \frac{(8 \times 2) }{ (8 + 2) }= 1.6[Ω]\\ Rt &=& (R12 + R4) \times \frac{R3} { (R12 + R4)} + R3 \\ &=&\frac{(1.6 + 4) \times 1 } { (1.6 +4) + 1 } \\ &=& \frac{28}{33} \\ &=& 0.848.. \\ &=& 0.85[Ω] \end{eqnarray} 次にIxをオームの法則を用いて導きます。 \begin{eqnarray} Ix &=& \frac{E} { Rt }\\ &=& \frac{20} { \frac{28}{33}} \\ &=& \frac{165}{7} \\ &=& 23.571… \\ &=& 23.57[A] \end{eqnarray} つづいてこの回路の分流について考えます。R12,R4側に流れる電流をIaとします。続いて、R3に流れる電流をIbとします。 そして式を立てると。 \begin{eqnarray} Ia &=& (\frac{R3} { (R12 + R4)} + R3) \times Ix \\ &=& (\frac{1}{(1.6 +4)} + 1) \times \frac{165}{7} \\ &=& \frac{25}{7}[A]\\\\ Ib &=& I – Ia =\frac{165}{7} – \frac{25}{7}\\ &=&20[A] \end{eqnarray} ここまで求められたらあとは対応する電流を一つ一つ計算すればでてきます。 I1x,I2xはIaを分流したらでるので、 \begin{eqnarray} I1x &=& \frac{R2} { (R1 + R2)} \times Ia \\ &=& \frac{20}{7} \\ &=& 2.857.. \\ &=& 2.86[A]\\\\ I2x &=& Ia – I1x \\ &=& \frac{25}{7} – \frac{20}{7} \\ &=& 0.714.. \\ &=& 0.71[A]\\ I3x &=& Ib = 20[A]\\\\ I4x &=& Ia \\\\ &=& \frac{25}{7} \\ &=& 3.751.. \\ &=& 3.75[A]\\ \end{eqnarray}

お疲れ様でした。これをなぜその値になるのか理解できれば高得点間違いなしなので頑張ってください!

編集後記
この単元には限りませんが、何かを”理解”するにはそれ相応の問題演習や熟考が必要不可欠です。たしかに、課題プリントをやったりすれば”問題を解ける”ようにはなるでしょう。
しかしながら、これはあまり自分の経験値にはなっていないと思うのです。教科書などを何度も繰り返し読み、問題を多く解いて理解しようとすることが勉強の本質であり、本当の経験値を得る方法だと私は思っています。
そのために、なにかわからない時に私などの先輩や先生に頼ることは全く問題ないのです。
最後になりますが、深い理解を目指し、わからないときは私達たちを頼ってみてください。それでは良い電気回路ライフを。
written by Undo
基礎から学ぶ電気回路計算

この本だけ買っておけば、大丈夫です。構成は公式の説明->例題->演習となっています。この本の良いところは例題の部分で途中式がちゃんと書いてあり、解説も詳しいところです。とても分かりやすいです。多くの学校では「電気回路の基礎」という緑色の表紙の参考書を買わされますが、この本は途中式がなく、答えもたまに間違っています。
もう「電気回路の基礎」を買ってしまった人は「電気回路の基礎」で原理・定義を学び、「基礎から学ぶ電気回路計算」で解き方を学ぶのがいいかと思います。

*「電気回路の基礎」はamazonのレビューではボロクソに書かれていますが、教科書として利用したときにはそれなりに使えると思います。

カラー徹底図解 基本からわかる電気回路

かなり分厚い本です。カラーで図を多用して、公式を説明しているので、公式がなぜ成り立つのかが感覚的にわかります。こちらの本は演習問題はありませんが、詳しい解説が例題とともにされています。辞書・教科書のとして使うことができます。「基礎から学ぶ電気回路計算」でも十分わかりやすいですが、これを読むと理解が深まります。

橋元の物理をはじめからていねいに 電磁気編

この本は電気回路の本ではありません。高校の電磁気の超入門書です。なぜ私がこの本をおすすめするかというと電気回路と電磁気には切っても切れない関係があるからです。電磁気の考え方があってこそ、電気回路の考え方があるようなものです。原理をイメージでつかみたいという人におすすめです。
おそらく、これをやるとインダクタンスやキャパシタンスで位相が変化する理由を理解できるようになります。我が学校の先生も「電磁気」をやってから「電気回路」をやったほうがいいとおっしゃっていたので興味のある方はぜひ。
*私は東進ハイスクールの橋元先生のファンなのでこの本を推させてください(涙目)

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記事をご覧いただきありがとうございます。
ポケモンとギャルゲーが好きでいつもやってます。
好きな教科は数学と電気回路です。
TwitterのDM開放しているので分からない問題などがありましたら気軽にご相談ください。(@Und_o__)

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