指数とSI接頭語

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[mathjax]

今回はSI接頭語を指数で表す方法を紹介します。まず、SI接頭語とは何なのか説明したいと思います。例えば、普段生活している中で1[km]の距離、10[kΩ]の抵抗、16[GB]のストレージの携帯電話などといいますよね。1[km]の距離は1000[m]、10[kΩ]の抵抗は10000[Ω]と表すこともできます。ただ、説明書などで抵抗は100000000000[Ω]書かれていたら嫌気が差しますよね。そこでSI接頭語([k],[G]など)を使って表すことがよくあります。SI接頭語は多くありますが、よく使うものだけ表にまとめたものが以下のものです。
    
係数$10^{12}$$10^9$$10^6$$10^3$$10^0$ $10^{-3}$$10^{-6}$$10^{-9}$$10^{-12}$
名称テラ ギガメガキロ  ミリマイクロナノピコ
記号 T G M k m μ n p
勘のいい方は気づいたかもしれませんが$10^3$づつにSI接頭語があります。(本当はデシリットルのdなどもあるがあまり使われない)今すべて覚えなくても、演習でやっていくうちに覚えていくので、わからないときはこのサイトに戻って確認してください。
そして本題に戻ると、先程の10[kΩ]の抵抗の抵抗は$10 \times 10^{3}$と表すことも可能です。なぜそうなるかというと $1k = 10^{3}$なので10[k]はその10倍あるということで$1[k] : 10^{3} = 10[k] : x$が成り立つからです。
さて、オームの法則を使う問題を通じて、その便利さについて考えてみましょう

問題 100「V」の電圧に10[MΩ]の抵抗を接続したときに流れる電流を求めよ.

これを解いていみたいと思います。まずは指数の表現を使わずにやってみたいと思います。
$I=\frac{100}{10000000}=1.0\times10^{-5}$となります。

次に指数の表現を使って計算してみたいと思います。
$I=\frac{100}{10・10^6}=10^{2-7}=1.0\times10^{-5}[A]$=$0.01[mA]$となります。…*1

*1でなんで指数部分を引いているのか気になりますよね。その理由を説明していと思います。 指数は例えば$10^{-1}$は$10^{-1}=\frac{1}{10^{1}}$のように表すと定義されています。また$10^{-3}$の場合は$10^{-3}$=$\frac{1}{10^{3}}$のようになります。これを使うと$\frac{100}{10・10^6}=\frac{10^2}{10^{-7}}$となり、先程の定義を使うと${10^2}\times{10^{-7}}$となります。
ここから式変形するにはもう一つの決まりごとを適用します。
指数の掛け算

$r^a \times r^b = r^{a+b}$

という性質をつかいます。簡単に解説すると$10\times10=100$となるのは$10^{1+1}=10^{2}$が成り立つからです。
では問題に戻ると
$I=\frac{100}{10・10^6}=\frac{1.0・10^2}{1.0・10^7}=\frac{10^2}{10^{-7}}=10^{2-7}=1.0\times10^{-5}$

このようにすると楽に計算できたのではないでしょうか、理学・工学では必須の計算の方法なのでしっかり習得しましょう。 それではお疲れ様でした。
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yaiba

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クロステ
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