後期試験対策問題 β版

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後期試験対策の問題を解説していきたいと思います。中間試験と期末試験を合わせたものとなります。

後期の内容は重複する内容が多く、中間の知識だけでも期末の内容を解くことができると思ったので今回は後期「総合」として問題を作成させていただきました。要は「簡単だから先取りしようぜ!」と言ったところです。


印刷してやりたい場合はこちらから「電気回路基礎後期試験対策問題」ダウンロードしてお使いいただけます。

この記事は[β版]ですので、ミスがあるかもしれません。その場合はお気軽にお尋ねください。皆様が解いていただければいただくほどこの記事がより良いものになることを確信しております。

範囲
重ね合わせの理
テブナンの定理
フェーザ表示・複素数表示
実効値
交流における回路要素

$\pi$は3.14、$\sqrt{2}$は1.414とする。
正弦波だけであれば公式の暗記だけでテストに臨めます。
ところが、交流には問題のような波もあり、全ての波に対応するためには公式の導出方法を暗記したほうが有用です。
導出方法を暗記するのは大変です。
、大まかなイメージを持ちながら暗記しましょう。
実行値($\dot{V}$)の導出方法とイメージ
はじめに、実効値とは交流において通常使われる値です。
公式を見てみましょう \begin{eqnarray} \dot{V} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T v^2 dx}   \left\{ \begin{array}{l} \dot{V} : 実効値 \\ T : 周期 \\ v : 瞬時値 \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}

問題1
重ね合わせの理を用いて$I_1からI_3$を求めよ。

図1

回答
$I_1 = 1.75[A]$
$I_2 = 3.75[A]$
$I_3 = 5.5[A]$

解説

重ね合わせの理とは、複雑の処理をすることなく特定の電流または電圧を求めことができる方法の1つです。
まず、1つの電源だけを残し他を短絡させ回路の電流を求めます。
次に、ほかの電源も同様の処理を行い、得られた電流をすべて足し合わせることで求まります。

では問題の解説に入ります。
図1から$R_2$側の電源を短絡させると図6になります。
図6
回路の電流を求めます。 \begin{eqnarray} R_{23} &=& \frac{(R_2 \times R_3)} {(R_2 + R_3)}\\ &=& \frac{6 \times 4} { 6 + 4 } \\ &=& \frac{24}{10} \\ &=& 2.4[Ω]\\ \end{eqnarray}
図7 \begin{eqnarray} R_a &=& 12 + 2.4 = 14.4[Ω]\\ \\ I_a &=& \frac{54}{14.4}\\ &=& \frac{15}{4}[A] \end{eqnarray} 続いて$R_{23}$の各抵抗に流れる電流を分流式を用いて求めます。
図8 \begin{eqnarray} I_{a2} &=& I_a \times \frac{R_3}{R_2 + R_3}\\ &=& \frac{15}{4} \times \frac{6}{4 + 6}\\ &=& \frac{9}{4}[A]…(1)\\ \\ I_{a3} &=& I_a – I_{a2}\\ &=& \frac{15}{4} – \frac{9}{4}\\ &=& \frac{6}{4}\\ &=& \frac{3}{2}[A]…(2) \\ \end{eqnarray} 続いて、図1から$R_1$側を短絡させ電流を求めます。
図9
回路の電流を求めます。 \begin{eqnarray} R_{13} &=& \frac{(R_1 \times R_3)} {(R_1 + R_3)}\\ &=& \frac{6 \times 12} { 6 + 12 } \\ &=& \frac{72}{18} \\ &=& 4[Ω]\\ \end{eqnarray}
図10 \begin{eqnarray} R_b &=& 4 + 4 = 8[Ω]\\ \\ I_b &=& \frac{48}{8}\\ &=& 6[A] \end{eqnarray} 次に$R_{13}$の各抵抗に流れる電流を分流式を用いて求めます。
図11 \begin{eqnarray} I_{b1} &=& I_b \times \frac{R_3}{R_1 + R_3}\\ &=& \frac{15}{4} \times \frac{6}{12 + 6}\\ &=& 2[A]…(3)\\ \\ I_{b3} &=& I_b – I_{b1}\\ &=& \frac{15}{4} – \frac{9}{4}\\ &=& 4[A]…(4) \end{eqnarray}
最後に、求めた結果をまとめると以下のような連立方程式になります。
(※立てる上で注意すべきことは、自分が決めた回路と図1の回路の電流の向きを揃えることです。意識して解くことを勧めます。)
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} I_1 &=& I_a +(-I_{b1})\\ I_2 &=& I_b +(-I_{a2})…(5)\\ I_3 &=& I_{a3} + I_{b3} \end{array} \right. \end{eqnarray}
(5)に(1)(2)(3)(4)の結果を代入すると、 \begin{eqnarray} I_1 &=& \frac{15}{4} + (-2) \\ &=& \frac{7}{4}\\ &=& 1.75[A]\\ \\ I_2 &=& 6 + (-\frac{9}{4}) \\ &=& \frac{15}{4}\\ &=& 3.75[A]\\ \\ I_3 &=& \frac{3}{2} + 4\\ &=& \frac{11}{2}\\ &=& 5.5[A] \end{eqnarray}

問題2
テブナンの定理を用いて図2の回路の$I_xとa-b間電圧V_{ab}$を求めよ

図2

回答
$I_x = 1.38[A]$
$V_{ab} = 13.82[V]$

解説

鳳テブナンの定理は、$a-b間$といった特定部分の$V_{ab}$を求める際の複雑な処理を簡単に計算するための定理です。
問題を解いていて感じたと思いますが、定常状態ではあまり恩恵を得られない上に処理が大変です。
しかし、交流状態のときこの定理のありがたみがわかります。

ただし、いきなり交流回路の計算で使うのは非常に難易度が高く危険です。
そのため定常状態で、ある程度の処理の流れに慣れておく必要があります。
面倒と感じるかもしれませんがゆっくり慣れていきましょう。

問題の解説に入ります。
はじめに$a-b間$を回路の一番右に持っていきたいため、図12のように変形します。
図12
次に$R_2$を取り外し$a-b間$を開放状態にします。
図13

図14の回路を考えます。
図14
図14における閉回路の電流$I_a$を求めます。(※電流$I_a$の向きは自由です) \begin{eqnarray} 22[V] + (-14)[V] &=& (6 + 10)[Ω] \times I_a[A] \\ 8 &=& 16I_a \\ I_a &=& \frac{1}{2} \\ &=& 0.5[A]…(1) \end{eqnarray} 続いて$a-b間$の電圧降下$V_{ab}’$を求めます。
方法は色々ありますが、今回は$b$を$GND$($0[V]$地点)と仮定して、$a$の残電圧を求める方法を用います。
図15
$a$の残電圧は19[V]となりますが、並列回路のため$R_1$か$R_3$のどちらを通っても結果が変わりません。
式は以下の通りになります。
$R_1$を通る場合、 \begin{eqnarray} 22 – R_1{\times}I_a = 22 – 6{\times}{\frac{1}{2}} = 19[V]…(2)\\ \end{eqnarray} $R_3$を通る場合、 \begin{eqnarray} 14 – (R_3{\times}-Ia) = 14 – (10{\times}-{\frac{1}{2}}) = 19[V]…(3)\\ \end{eqnarray} この式の立て方のコツは以下の2つのみになります。
・電源では”電圧を受け取る”
・抵抗では”電圧を消費する”
以上の2つを考慮しながら(2)式をキルヒホッフの第2法則を用いて解析してみましょう。
22[V]を受け取った後、$R_1[Ω]$に電流$I_a[A]$が流れ$R_1{\times}I_a[V]$消費します。
(※(3)式は、自分の決めた$I_a$の向きと逆なので$-$符号をつけています。)

次に図15の合成抵抗を求めます。 \begin{eqnarray} R_0 &=& \frac{R_1 \times R_3}{R_1 + R_3} \\ &=& \frac{6 \times 10}{6 + 10} \\ &=& \frac{15}{4}[Ω]\\ \end{eqnarray} 続いて外した$R_2$を再び結合します。
図16
開放状態の電圧降下$V_{ab}[V]$は図16の電源$E_0$になります。

長々と書いてしまいましたが、この回路が鳳テブナンの最終目標であり、開放電圧は$E_0$を求めるために必要なステップだったのです。
このステップは定常状態であろうが、交流状態であろうが何1つ変わらないのです。 ここまで求まってしまえば後はただの直列回路を解くだけです。 \begin{eqnarray} \end{eqnarray}

問題3 やや難
図3のような電圧の波形があるとき実効値Vおよび絶対平均値$V_a$を求めよ。
(必要であれば微分積分の利用を許可する。)

図3

 

問題4
電圧$v$が$v=141.4sin(100\pi+\frac{\pi}{4})$のとき次の(1)~(6)を求めよ。
(1)最大値 $V_m$
(2)実効値 $V$
(3)絶対平均値 $V_a$
(4)角周波数(角速度) $\omega$
(5)周波数 $f$
(6)位相角 $\theta$

 

問題5
図4における$i$の瞬時値の式を求めよ。また、それをフェーザ表示でも示せ。

 

問題6
図5の回路に電流$\dot{I} =4\angle 0°$が流れているとき、次の(1)~(7)に答えよ。ただし、(1)~(3)は複素数表示、(5)~(7)はフェーザ表示で示せ。また、周波数$f=100Hz$とする。

(1)赤色部分の合成アドミタンス$\dot{Y}_a$を求めよ。
(2)青色部分の合成アドミタンス$\dot{Y}_b$を求めよ。
(3)2端子間の合成インピーダンス${\dot{Z}}_{ab}$を求めよ。
(4)2端子間の合成インピーダンスの極表示${\dot{Z}}_{ab}$を求めよ。
(5)2端子間の電圧$\dot{V}$を求めよ。
(6)青色部分の電圧 $\dot{V_b}$を求めよ。
(7)赤色部分に流れる電流$\dot{I_b}$を求めよ。


図5

 

基礎から学ぶ電気回路計算

この本だけ買っておけば、大丈夫です。構成は公式の説明->例題->演習となっています。この本の良いところは例題の部分で途中式がちゃんと書いてあり、解説も詳しいところです。とても分かりやすいです。多くの学校では「電気回路の基礎」という緑色の表紙の参考書を買わされますが、この本は途中式がなく、答えもたまに間違っています。
もう「電気回路の基礎」を買ってしまった人は「電気回路の基礎」で原理・定義を学び、「基礎から学ぶ電気回路計算」で解き方を学ぶのがいいかと思います。

*「電気回路の基礎」はamazonのレビューではボロクソに書かれていますが、教科書として利用したときにはそれなりに使えると思います。

カラー徹底図解 基本からわかる電気回路

かなり分厚い本です。カラーで図を多用して、公式を説明しているので、公式がなぜ成り立つのかが感覚的にわかります。こちらの本は演習問題はありませんが、詳しい解説が例題とともにされています。辞書・教科書のとして使うことができます。「基礎から学ぶ電気回路計算」でも十分わかりやすいですが、これを読むと理解が深まります。

橋元の物理をはじめからていねいに 電磁気編

この本は電気回路の本ではありません。高校の電磁気の超入門書です。なぜ私がこの本をおすすめするかというと電気回路と電磁気には切っても切れない関係があるからです。電磁気の考え方があってこそ、電気回路の考え方があるようなものです。原理をイメージでつかみたいという人におすすめです。
おそらく、これをやるとインダクタンスやキャパシタンスで位相が変化する理由を理解できるようになります。我が学校の先生も「電磁気」をやってから「電気回路」をやったほうがいいとおっしゃっていたので興味のある方はぜひ。
*私は東進ハイスクールの橋元先生のファンなのでこの本を推させてください(涙目)

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記事をご覧いただきありがとうございます。
ポケモンとギャルゲーが好きでいつもやってます。
好きな教科は数学と電気回路です。
TwitterのDM開放しているので分からない問題などがありましたら気軽にご相談ください。(@Und_o__)

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